조화 평균(Harmonic Mean)

Published by Nineye under mathematics / science on February 13, 2009

 

조화 평균의 어원적 의미
 
현악기의 현의 길이를 3/4으로 줄이면 4도 높은음을 나타내고, 2/3로 줄이면 5도 높은 음을 나타내며, 그 길이를 절반으로 줄이면 한 옥타브 높은 음을 나타낸다.
특히 어떤 음과 5도 높은 음을 화음을 구성한다는 점을 주목하기 바란다. 현에서의 진동수( f ), 파장 (λ), 그리고 현에서의 파의 속도(v) 의 관계를 살펴보자.

마루나 골이 단위 시간당 이동하는 거리를 파의 속도라 하는데 식 v=fλ로 표현이 된다. 파동의 진동수는 파원의 진동수에 의해 자연적으로 결정되며 파동이 매질을 진행하게 하는 속력은 그 매질의 성질로 결정이 된다.
쉽게 이야기하면, 음의 높이는 진동수에의해 결정되며, 현에서 파의 속도는 선의 길이와 탄성이 일정하므로 항상 일정하다는 이야기이다. 따라서 진동수와 파장은 편에서 반비례 관계를 형성하게 된다.
진동수를 f (기본음)에서 2f(한 옥타브 높은 음)로 증가시키면 파장은 λ에서 1/2λ로 감소하게 된다. 이 때 현의 어느 부분을 눌러서 튕겨야 하는 문제는 정상파와 배진동의 관계를 알아야 하는 번거로움이 있지만, 우리는 여기서 선분 AC의 길이를 λ로 생각하면 쉽게 위치를 찾을 수 있다.
3/2f (5도 높은 음)의 음을 내기 위해서는 λ와 1/2λ의 조화평균인 2λ/3 위치인 D부분을 눌러서
오른쪽을 튕기면 된다. 단, B는 현의 길이의 중점이고, D는 현의 길이의 2/3 지점이다.

진동수의 이러한 등 간격은 화음을 구성시키는데, 조화평균을 영어로 Harmonic Mean이라고 하는 이유를 쉽게 짐작할 수 있을 것이다.